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一阶微分方程积分因子.doc

一阶微分方程积分因子

王凤昕
2019-02-25 0人钱柜777手机版登陆 0 0 0 暂无简介 举报

简介:本文档为《一阶微分方程积分因子doc》,可适用于综合领域

一阶微分方程积分因子的主要求解方法数学与应用数学:  孙彦杰指导老师: 胡爱莲  副教授摘 要:本文针对一阶微分方程的微分形式为非全微分方程时求其通解的常用方法是:首先求出积分因子使其变为全微分方程进而求得其通解。而这种方法最为困难的就是求积分因子本文给出了一些常用的求解积分因子的方法和技巧。关键词:一阶微分方程积分因子全微分方程通解  一、前 言:一般而言若方程              (*)是全微分方程。我们可以通过求的原函数很快地求出方程(*)的通解为。实际上我们遇到的很多形如方程(*)的方程未必都是全微分方程。若方程(*)不是全微分方程此时只需找出合适的积分因子使方程(*)变为全微分方程即可求得(*)的通解这种方法称为积分因子法。积分因子法是分离变量法的一种自然推广用积分因子法可以统一各种初等积分法。例如:变量分离方程                 ()取积分因子法可将()化为全微分方程。一阶线性微分方程                 () 取积分因子则()可化为全微分方程。齐次方程                          ()  取积分因子则方程()可化为全微分方程。一般情况下我们遇到的方程(*)未必都是全微分方程只要使方程(*)变为全微分方程其解就可以求出。一般地我们有下面的定义。定义:假如存在连续可微函数使方程()成为全微分方程我们就把称为方程(*)的积分因子。易于看到当时(*)与()同解于是为了求解方程(*)只须求解()就可以了但是如何求得(*)的积分因子呢?下面我们就来进行讨论。  方程()是全微分方程的充要条件是即        移项得:                                                                                                                                                                                                      ()从而有       于是为(*)的积分因子的充要条件是满足方程()。而方程()是一个偏微分方程其求解也很困难。因此有必要讨论积分因子的求解方法和技巧。下面我们就来讨论一下常用的积分因子的求解方法与技巧。二、特殊类型的积分因子的求解方法定理:  方程(*)存在只与x有关的积分因子的充要条件是:只与x有关且此时有。证明:“” 若方程(*)存在只与x有关的积分因子则有这样()化为即                           ()     ()的左端只与x有关它的右端也只与x有关。“”  如果只与x有关且是方程()的解即此时满足方程()从而是(*)的一个积分因子。定理: 方程(*)存在只与y有关的积分因子的充要条件是: 只与y有关且此时有定理的证明与定理的证明相似此处省略。例   求解方程(解:     可知 此方程不是全微分方程。又    只与x有关。用积分因子乘以原方程两端则得全微分方程:现取则通积分为:即          例  解:所以这个方程不是全微分当方程但是   它仅依赖于,因此有积分因子以它乘方程得到         从而可得到隐式通解另外还有特解它是在用积分因子乘方程时丢失的解定理: 方程(*)分别具有形如形式的积分因子的充要条件分别为:证明:方程(*)有积分因子的充要条件是令,则有即满足下列微分方程,()()式右端应为的函数这就证明了为方程(*)的积分因子的充要条件为          则积分因子                      ()当 即 是方程(*)有形式的积分因子的充要条件。当即又是方程(*)有形式的积分因子的充要条件。当 即是方程(*)有形如的积分因子的充要条件。定理:当为的函数记则有则它的积分因子为定理:当为的函数记为则有则它的积分因子为例   解方程解:不是全微分方程设想方程有积分因子其中是待定实数于是    取  得 于是原方程有积分因子从而得其通解为        例  解方程  解:  不是全微分方程由于  由定律中的()式原方程有积分因子  以它乘方程得到即     故原方程的通积分为    三、分组求积分因子法如果不易直接求得方程的积分因子在这种情况下考虑把它的左端分成两组:()然后分别求得各组的积分因子和于是就找到`使得这时可适当选取函数、使得就可求得()的积分因子为例   求解方程  解:把方程改写为 前一组有积分因子和通积分因而它有更一般的积分因子后面一组显见有积分因子和通积分,因而有更一般的积分因子为了使有关子式只须取这样可知原方程有积分因子且积分即得       (c为常数)此外原方程还有解它们在用乘方程的两端时丢掉的。四: 观察法对于比较简单的微分方程凭我们对于微分公式的经验可以观察到它的积分因子。例如:对于微分方程它有积分因子通积分为   特注:这种方法的关键是把方程的若干项在某个积分因子下合成一个熟知的全微分再从余下的项中选出部分在同样的积分因子下凑成另一个全微分……直到各项用完为止这样就可找到所需的积分因子了。但这就要求我们熟记一些二元函数的全微分。例如:例  求解方程           解:          经观察可作为上方程的积分因子因此有即           故原方程的通解为        参考文献:丁同仁, 常微分方程基础 上海科学技术出版社, 年月, 叶彦谦, 常微分方程讲义,  北京人民教育出版社, 年月,钱祥征, 常微分方程解题方法,湖南科学技术出版社, 年月,毕业论文任务书这篇论文要完成的任务主要有两个:一、针对一阶微分方程的微分形式为非全微分方程时求其通解的常用方法。二、给出一些常用的求解积分因子的方法和技巧。摘要:本文针对一阶微分方程的微分形式为非全微分方程时求其通解的常用方法是:首先求出积分因子使其变为全微分方程进而求得其通解而这种方法最为困难的就是求积分因子本文给出了一些常用的求解积分因子的方法关键词:一阶微分方程积分因子全微分方程通解。Abstract:WhenthedifferentialformofafirstorderdifferentialequationisnotfullyDifferentialequation,thecommonmethodtosolveitis:first,changetheequationintofullydifferentialequationbyfindingintegraldivisorthenfinditsgeneralsolutionHowever,findingtheintegraldivisorisnotsoeasyInthispaperatechniqueforfindingtheintegraldivisorisgivenKeyWords:firstorderdifferentialequationintegraldivisorfullydifferentialequationgeneralsolution目 录一、前言二、特殊类型的积分因三、参考文献:丁同仁, 常微分方程基础 上海科学技术出版社, 年月, 叶彦谦, 常微分方程讲义,  北京人民教育出版社, 年月,钱祥征, 常微分方程解题方法,湖南科学技术出版社, 年月,

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