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05 第五节 函数极限与最大值最小值.doc

05 第五节 函数极限与最大值最小值

小肖小晓
2019-02-25 0人钱柜777手机版登陆 0 0 0 暂无简介 举报

简介:本文档为《05 第五节 函数极限与最大值最小值doc》,可适用于综合领域

第五节函数的极限与最大值最小值在讨论函数的单调性时曾遇到这样的情形函数先是单调增加(或减少)到达某一点后又变为单调减少(或增加)这一类点实际上就是使函数单调性发生变化的分界点如在上节例的图中点和就是具有这样性质的点易见对的某个邻域内的任一点恒有即曲线在点处达到“峰顶”同样对的某个邻域内的任一点恒有即曲线在点处达到“谷底”具有这种性质的点在实际应用中有着重要的意义由此我们引要入函数极值的概念分布图示★函数极值的定义★函数极值的求法★例      ★例      ★例★第二充分条件★例      ★例      ★例★最大值最小值的求法  ★例★例      ★例      ★例★例      ★例      ★内容小结        ★课堂练习★习题内容要点:一、极值的概念二、极值的必要条件三、第一充分条件与第二充分条件四、求函数的极值点和极值的步骤:()确定函数的定义域并求其导数()解方程求出的全部驻点与不可导点()讨论在驻点和不可导点左、右两侧邻近符号变化的情况确定函数的极值点()求出各极值点的函数值就得到函数的全部极值五、求函数的最大值与最小值在实际应用中常常会遇到求最大值和最小值的问题如用料最省、容量最大、花钱最少、效率最高、利润最大等此类问题在数学上往往可归结为求某一函数(通常称为目标函数)的最大值或最小值问题求函数在上的最大(小)值的步骤如下:()计算函数在一切可能极值点的函数值并将它们与相比较这些值中最大的就是最大值最小的就是最小值()对于闭区间上的连续函数如果在这个区间内只有一个可能的极值点并且函数在该点确有极值则这点就是函数在所给区间上的最大值(或最小值)点例题选讲:求函数的极值例(E)求出函数的极值解 ,令得驻点列表讨论如下:+-+↑极大值↓极小值↑      所以,极大值极小值例(E)求函数的极值解 函数在内连续除外处处可导且令得驻点为的不可导点列表讨论如下:+不存在-+↑极大值↓极小值↑      极大值为极小值为例求函数的单调增减区间和极值解 求导数当时而时不存在,因此函数只可能在这两点取得极值列表如下:+不存在-+↗极大值↘极小值↗      由上表可见:函数在区间单调增加,在区间单调减少 在点处有极大值,在点处有极小值如图例(E)求出函数的极值解 令得驻点又故极大值故极小值注意:时,在点处不一定取极值,仍用第一充分条件进行判断函数的不可导点,也可能是函数的极值点例(E)求函数的极值解 由得驻点因故在处取得极小值极小值为因故用定理无法判别考察一阶导数在驻点及左右邻近的符号:当取左侧邻近的值时,当取右侧邻近的值时,因的符号没有改变故在处没有极值同理在处也没有极值如图所示例求出函数的极值解 是函数的不可导点当时,当时, 为的极大值求函数的最大值最小值例(E)求的在上的最大值与最小值解 解方程得计算比较得最大值最小值例求函数在上的最大值及最小值解 函数在上连续,令得故在上最大值为最小值为例(E)设工厂A到铁路线的垂直距离为km,垂足为B铁路线上距离B为km处有一原料供应站C,如图现在要在铁路BC中间某处D修建一个原料中转车站,再由车站D向工厂修一条公路如果已知每km的铁路运费与公路运费之比为:,那么,D应选在何处,才能使原料供应站C运货到工厂A所需运费最省解 (km),(km),铁路每公里运费公路每公里记那里目标函数(总运费)的函数关系式:即     问题归结为:取何值时目标函数最小求导得令得(km)由于从而当(km)时总运费最省例(E)某房地产公司有套公寓要出租,当租金定为每月元时,公寓会全部租出去当租金每月增加元时,就有一套公寓租不出去,而租出去的房子每月需花费元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入解 设房租为每月元租出去的房子有套每月总收入为解得(唯一驻点)故每月每套租金为元时收入最高最大收入为(元)例敌人乘汽车从河的北岸A处以千米分钟的速度向正北逃窜,同时我军摩托车从河的南岸B处向正东追击,速度为千米分钟,问我军摩托车何时射击最好(相距最近射击最好)解()建立敌我相距函数关系设为我军从B处发起追击至射击的时间(分)敌我相距函数()求的最小值点令得唯一驻点故得我军从B处发起追击后分钟射击最好实际问题求最值应注意:()建立目标函数()求最值若目标函数只有唯一驻点,则该点的函数值即为所求的最(或最小)值例求内接于椭圆而面积最大的矩形的各边之长解 设为椭圆上第一象限内任意一点则以点为一顶点的内接矩形的面积为且由求得驻点为唯一的极值可疑点依题意,存在最大值,故是的最大值,最大值对应的值为即当矩形的边长分别为时面积最大课堂练习下列命题正确吗若为的极小值点,则必存在的某邻域,在此邻域内,在的左侧下降,而在的右侧上升若是在a,b上的最大值或最小值,且存在,是否一定有

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